VaR для опционов методом Монте-Карло

Рассмотрим европейский опцион колл на какой-либо базовый актив equity (фондовый индекс или акция) и введем следующие обозначения:

- цена базового актива;

- цена европейского опциона колл;

- страйк колл;

- срок действия опциона во времени

- годовая безрисковая ставка процента (при непрерывном начислении);

- годовая вмененная волатильность базового актива (волатильность, получаемая из котируемой на рынке цены опциона путем решения обратной задачи);

- функция распределения стандартной нормальной случайной величины;

- функция распределения плотности вероятности стандартной нормальной случайной величины;

Цена европейского опциона колл с допущением о нулевой дивидендной доходности базового актива и неизменной вмененной волатильности на момент времени определяется формулой (моделью) Блэка-Шоулза [18, 19]:

, где

Формула ценообразования опциона - формула Блэка-Шоулза - является решением уравнения в частных производных, которое получается из предположения о броуновском характере движения цены базового актива с фиксированной ожидаемой доходностью и волатильностью, а также динамическом дельта-хеджировании опциона с помощью самого базового актива [18,19].

Зная формулу ценообразования, можно посчитать теоретическое значение цены опциона на каждый момент времени для различных сценариев цены базового актива. Таким образом, используя рассмотренный выше метод Монте-Карло для генерирования доходностей базового актива (раздел Метод Монте-Карло), можно получить распределение цены опциона на заданный момент времени и, следовательно, посчитать VaR опциона.

Основным недостатком данного подхода является вычислительная сложность, в особенности, если в портфеле несколько опционов различных типов (европейский/американский, пут/кол), а также при необходимости моделирования траекторий цены базового актива (что важно для экзотических path-dependent опционов). Кроме того, существует множество экзотических опционов, для которых не существует аналитических решений (другими словами, система характеризующих дифференциальных уравнений не имеет аналитического решения), поэтому на каждой итерации становится необходимым производить численное решение системы ДУ.