Δ-Γ-Θ-аппроксимация

Как уже отмечалось выше, изменение цены нелинейного финансового инструмента может быть аппроксимировано с помощью частных производных цены инструмента по факторам риска. При этом вне зависимости от того, существует ли аналитическая формула для цены инструмента (например, экзотического опциона) или нет, изменение цены можно разложить в ряд Тейлора n-ого порядка.

Для европейского опциона колл определены следующие частные производные по факторам риска, являющиеся существенными при разложении цены опциона в ряд Тейлора 2-ого порядка:

Таблица 2.2 - Греки европейского опциона колл

Таким образом, изменение цены европейского опциона колл за период времени будет иметь вид:

В предположении о постоянстве вмененной волатильности, а также учитывая незначительное влияние фактора безрисковой процентной ставки при разумном диапазоне ее возможных изменений, формула принимает следующий вид:

Данное выражение называется дельта-гамма-тета-аппроксимацией цены европейского опциона колл. Второе представление показывает, что изменение цены опциона определяется двумя случайными факторами: доходностью и квадратом доходности базового актива. Первая случайная величина распределена нормально, вторая - по закону χ-квадрат. Таким образом, именно за счет второй компоненты происходит корректировка на ненормальность.

Основным недостатком метода является его неточность при значительном временном горизонте и больших значениях гамма, когда опцион близок к экспирации или «в деньгах».

Рассмотрим европейский опцион колл со сроком погашения 1 год и рассчитаем значения цены опциона через 0,5 года в предположении о неизменности вмененной волатильности и безрисковой процентной ставки на основе сгенерированных методом Монте-Карло значений доходности базового актива - Индекса РТС. Расчет цен опциона осуществляется 1) по формуле Блэка-Шоулза и 2) методом Δ-Γ-Θ-аппроксимации.