Концепция Value-at-Risk

где - количество предшествующих оценок волатильности, влияющих на текущую, - весовые коэффициенты, определяющие степень влияния предыдущих оценок волатильности на текущее значение.

Существенным преимуществом GARCH-модели признается ее свойство быстрого реагирования на любые наблюдаемые изменения на рынке и быстрого восстановления после сильных колебаний рынка.

Простейшая и наиболее часто используемая модель GARCH(1,1), имеющая вид [3]:

где ω, α и β - коэффициенты, задаваемые:

где - дисперсия всей исследуемой выборки.

Для нахождения этих коэффициентов использовался метод максимального правдоподобия. Максимизировалась следующая функция:

где N - количество элементов в исследуемой выборке.

Можно заметить, что при ω = 0, α = (1 - λ) и β = λ, данная модель соответствует экспоненциально-взвешенной модели.

Ниже (рис. 2.3) приведен пример расчета дельта-нормального VaR с постоянными вариациями для отдельных активов и портфеля активов на базе оцененных нормальных распределений доходностей этих активов и ковариационной матрицы доходностей.

Рисунок 2.3 - Функции распределения активов и портфеля;VaR 95%

2.1.3 Непараметрические методы оценки волатильности

Все перечисленные выше методы оценки волатильности имеют конечное число параметров, следовательно, являются параметрическими.

Для получения непараметрических оценок волатильности традиционно используются два класса методов: методы ядерной оценки (kernel estimation), использующие свертку с некоторым ядром, и методы, использующие разложение в функциональный ряд (например, ряд Фурье) [3, стр. 14].

Метод ядерной оценки использует для оценки волатильности взвешенную сумму:

Последовательность весов будет определяться как:

представляет собой функцию гауссовского ядра с параметром h. Этот параметр принято называть шириной окна, который зависит от объема выборки:

где σN - выборочное стандартное отклонение [14, 15].

Другим подходом к непараметрической оценке волатильности является разложение ряда доходностей в функциональный ряд, например, в ряд Фурье. Оценка волатильности при этом выражается через значения коэффициентов разложения. Так, при разложении в ряд Фурье оценка волатильности имеет вид: