Концепция Value-at-Risk

Это несомненные достоинства метода, который, в отличие от метода исторического моделирования, позволяет рассмотреть не какую-либо одну траекторию цен (сценарий), а сколь угодно много, что, как правило, повышает точность оценок. Недостатками данной методики являются низкая точность при малых объемах выборки и использование предположения о независимости доходностей во времени [2].

Чтобы проводить моделирование по Монте-Карло для многофакторного процесса, можно точно так же моделировать каждый из k рассматриваемых факторов исходя из сгенерированных случайных чисел [2]:

j = 1, ., k

или для дискретного времени:

j = 1, .,k.

С целью учета корреляции между факторами необходимо, чтобы случайные величины и точно так же коррелировали между собой. Для этого используется разложение Холецкого (Cholesky factorization), суть которого состоит в разложении корреляционной матрицы на две (множители Холецкого) и использовании их для вычисления коррелированных случайных чисел.

Корреляционная матрица является симметричной и может быть представлена произведением треугольной матрицы низшего порядка с нулями в верхнем правом углу на такую же транспонированную матрицу. Например, для случая двух факторов имеем:

откуда получим:

Коррелированные случайные числа и получаются путем перемножения множителя Холецкого и вектора независимых случайных чисел η:

На рис. 2.5 для портфеля приведен пример 50-ти траекторий цен на год вперед, сгенерированных методом Монте-Карло с использованием разложения корреляционной матрицы методом Холецкого.

Рисунок 2.5 - Траектории цен портфеля по методу Монтре-Карло

Ниже приведено сравнение VaR и распределений доходностей, полученных методом исторических симуляций и методом Монте-Карло для искомого портфеля.

Рисунок 2.6 - Гистограммы доходностей и VaR

Рисунок 2.7 - Гистограммы доходностей опциона (как нелинейного инструмента) на Индекс РТС и Индекса РТС (как фактора риска), полученные из 10.000 симуляций методом Монте-Карло